Poisson-verdeling

De Poisson-verdeling wordt vaak verward met Poisson-proces. Het Poisson-proces is een stochastisch proces; hierop komen we in de laatste paragraaf nog terug. De Poisson-verdeling is een kansverdeling van een discrete stochastische variabele X. De twee begrippen hebben wel veel met elkaar te maken: als een aankomstproces een Poisson-proces is, dan is de kansverdeling van het aantal aankomsten in een gegeven tijdsinterval een Poisson- verdeling.

Een typisch voorbeeld van zo'n aankomstproces zijn de oproepen die binnenkomen bij een telefooncentrale. Als dat aankomstproces een Poisson-proces is met gemiddeld aankomsten per seconde en we definiëren X als het aantal aankomsten in een interval van t seconden, dan heeft X een Poisson-verdeling met parameter .

De Poisson-verdeling met parameter wordt gegeven door:

Voor de Poisson-verdeling worden het gemiddelde en de variantie gegeven door:

Figuur 3.4 toont een voorbeeld van een Poissonverdeling.

 
Figuur: Histogram Poisson-verdeling met . 

Modelleer het aankomstproces van oproepen bij een telefooncentrale als een Poisson-proces. Om een vergelijking te maken met het simulatie model dat in de twee voorgaande voorbeelden besproken werd, stellen we dezelfde vraag.

Gevraagd: Hoe groot is de kans op 5 of minder aankomsten in 20 seconden, bij gemiddeld 1 aankomst per 2 seconden?''

Het aantal aankomsten in een gegeven tijdsinterval, is een Poisson- verdeelde discrete stochastische variabele. De parameter van de Poisson-verdeling (het gemiddelde) is in dit voorbeeld . De kans op 5 of minder aankomsten is:

De Poisson-verdeling is meer willekeurig dan de binomiale verdeling (grotere coëfficiënt van variatie) en heeft daardoor meer kansmassa in de extremen. Echter voor kansen tot op ongeveer 1% nauwkeurig is, bij deze parameters, de Poisson-verdeling een goede benadering voor de binomiale verdeling. Hierop komen we in de volgende paragraaf terug.