next up previous contents
Volgende: Poisson-proces Terug: Speciale verdelingen Vorige: Normale Verdeling (Gaussische

Negatief exponentiële verdeling

Het limiet geval van de (discrete) geometrische verdeling is de (continue) negatief exponentiële verdeling. Ook hier kan de verdeling geïnterpreteerd worden als: hoe lang duurt het totdat een ``succes'' optreedt. Een typisch voorbeeld is de tijd die zal verstrijken tot de eerstvolgende telefoon oproep, wanneer er gemiddeld oproepen per tijdseenheid zijn.

Laat T een continue stochastische variabele zijn met de volgende kansdichtheid

 

en dus de volgende verdelingsfunctie

 

dan is T negatief exponentieel verdeeld met gemiddelde en variantie:

 

 

 
Figuur: Kansdichtheid negatief exponentiële verdeling met (dus ). 

 

In dit voorbeeld vergelijken we de simulatie methode van voorbeeld 3.1 met een aankomstproces waarbij de tijd tot de eerste aankomst (na t=0) en de tijden tussen twee opeenvolgende aankomsten negatief exponentieel verdeeld zijn met gemiddelde 2 (dus ).

Als tegenhangers van vragen c) en d) uit voorbeel 3.1 kunnen we ons afvragen hoe groot de kans is dat er op t=2 nog geen aankomst heeft plaatsgevonden en hoe groot de coëfficiënt van variatie is van een negatief exponentieel verdeelde stochastische variabele.

Het antwoord op de laatste vraag is direct af te lezen uit (3.44) en (3.45). Immers . Dit is in overeenstemming met de bovenstaande stelling dat de negatief exponentiële verdeling een limietgeval is van de geometrische verdeling. Wordt het interval opgedeeld in steeds meer tijdsleuven en vermindert de kans op een aankomst in een tijdsleuf verhoudingsgewijs dan gaat ook voor de geometrische verdeling de coëfficiënt van variatie naar 1.

De kans op geen aankomst gedurende de eerste twee seconden is het complement van de kans dat de eerste aankomst plaatsvindt op een tijdstip :

Net als de geometrische verdeling, heeft ook de negatief exponentiële verdeling de geheugenloze eigenschap. Dit is ook de reden dat bij prestatie-analyse en wachttijdtheorie meestal verondersteld wordt dat de tijd tussen aankomsten of de bedieningsduur negatief exponentieel verdeeld is. Namelijk in dat geval hoeft in de analyse de tijd die verstreken is sinds de laatste aankomst (respectievelijk de bedieningsduur die reeds verstreken is) niet meegenomen te worden in de analyse, omdat de kansverdeling van de tijd die nog te gaan is, onafhankelijk is van de reeds verstreken tijd.

 
Figuur: Geheugenloze eigenschap negatief exponentiële verdeling. Kansdichtheid eerste aankomst gegeven geen aankomsten voor t=2. 



next up previous contents
Volgende: Poisson-proces Terug: Speciale verdelingen Vorige: Normale Verdeling (Gaussische



Geert A. Awater
Mon Dec 11 15:33:15 MET 1995